誰說應該要票票等值？淺談平方投票法
目錄
前言 #
2019 年初我修了一門叫做「進階社群網絡」的課，其中一大部分的課程都在討論資訊領域中，怎麼樣透過不同的機制設計（mechanism design）去影響這個社群的參與者。白話文的解釋就是：「我能不能設計一套規則，讓使用者乖乖聽話？」（附帶一提，這堂課也成就了另外兩篇文章：別人的朋友都比我多和人，從來就沒理性過）。學期中老師介紹了不同的投票機制，然後，課堂專題就不小心，真的是不小心，開始研究平方投票法。
然後，它就變成我的碩士論文了。
嗯對。
至此之後，我都不知道我該怎麼跟別人解釋我到底在研究什麼。兩年過去了，也差不多可以把我現階段的研究寫成幾篇白話文文章，順便推銷介紹一下這種蒐集意見、做團體決定的方法。你正在閱讀的這一篇文章是這個系列的首部曲，本文會很快速的告訴你有關我過去在做的研究。第二篇文章會深入介紹過去兩年研究中做過的實驗和結果。至於會不會有三四篇就看緣分了。
祝大家閱讀愉快~
緣起 #
投票，是一種集體決策的行為。也就是某個人為了要蒐集大家（包含你在內）的意見，透過「投票活動」，彙整每個人所寫下的意見，最後做出決定。歷史記載最早出現的投票行為，要追溯回西元前 6 世紀古希臘的雅典，雅典的（部分）民眾透過陶片，寫下他認為應該被放逐的人名，透過計票表決要將誰放逐，
有沒有發現，從陶片放逐法一直到每四年一次的總統大選，這幾千年來的投票活動，不變的一件事情是，每個參與投票的人只有一票，而且票票等值 — 這種投票機制我們稱做一人一票（1-person-1-vote，簡稱 1p1v）。表面上這樣的投票方式好像很公平，每個人表達的意見有相同的「效力」、每個人有一樣多表達意見的機會，透過詢問大眾的意見，讓少數人服從多數人的決定。但是，經濟學家阿羅透過理論告訴我們，這樣的機制完全沒有辦法反映出一個群體的「真實」意見。在一人一票的投票機制中，最後產生的結果未必符合眾人期待，反而扼殺了納入每個人完整偏好的機會（這個理論又稱做阿羅的不可能定理［註一］，Arrow’s Impossible Theorm）。而且，一人一票最常被人詬病的就在於容易造成「多數人暴政」，也就是少數人永遠必須要服從多入人的決定。
平方投票法的誕生 #
2014 年開始，微軟首席研究院研究員 Glen Weyl 與芝加哥大學法學院教授 Eric Posner 提出了平方投票法（Quadratic Voting，簡稱QV），並在 2018 年寫入暢銷書《基進市場》。平方投票法背後最重要的概念是，如果每張選票都有「成本」，投票的人是不是可以透過犧牲表達部分意見的權利換得支持其他議題的權力（如果這句話不好理解，把它想成，我可不可以犧牲套餐中的飲料，多換一份附餐甜點）。
基於這樣的概念，平方投票法誕生了。為了用淺顯易懂的方式解釋平方投票法的運作原理，我們用下面這個白話文規則來解釋（括號中的文字可以把它看作是一個例子［註二］：
- 首先，系統將配發每個參與這個投票的人，一樣多的預算（假設系統給哲哲100元）。
- 選票單上面有數個選項（假設哲哲參與的投票上有五個社會議題：同婚、廢死、非核、美豬進口、藻礁）
- 每個投票人可以針對每個社會議題投票，而且可以投不只一票
- 但投票人投的票會扣除投票人的預算，這個費用將會是：投票者在那個議題投票數的平方。
（也就是說如果哲哲的投票單上:
- 對同婚這個社會議題投下 7 票贊成票，會扣他預算 49 元（7*7）
- 對非核能這個社會議題 投下 4 票贊成票，會扣他預算 16 元（4*4）
- 對藻礁這個社會議題 投下 1 票贊成票，會扣他預算 1 元（1*1）
- 對廢死這個社會議題 投下 5 票反對票，會扣他預算 25 元（5*5）
- 對美豬進口這個社會議題 投下 0 票贊成票，會扣他預算 0 元（0*0））
- 且每個投票人總花費不超過給定的預算。（也就是說哲哲的總花費會是 91 元，少於預算的 100 元，通過!）
- 當所有投票人投完票之後，系統就可以結算選票上的每個項目，到底各得到多少票（注意，不是總花費喔！）按照得票數的多寡排列後，總得票數最高的就是大家最有共識的項目。
有沒有發現，這樣的投票機制下，我可以透過不對一些議題表示意見，把預算留給我真正在乎的議題。而且，我還可以自由的用票，表達我對不同議題的贊同或是反對程度。Glen 和 Eric 在發表的論文中就解釋，之所以是透過平方計算，是因為平方有下面這個有趣的特性：
| 票數 | 成本 | 邊際成本 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | - |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 3 | 9 | 5 |
| 4 | 16 | 7 |
注意到最右欄的邊際成本，它的意思是，每投一票，我需要額外增加的費用。有沒有發現，這個費用是線性增加的（2n-1），也就是說我越在乎一件事情，我願意以同等比例付出。這是其他次方沒有的特性。
如果你還是沒有很懂，讓我來邀請下面這位花30秒重複上面寫過的東西：
所以我的研究在做什麼 #
Glen 和 Eric 的研究一直都是透過賽局理論的推導去證明平方投票法的諸多特性，但是，在真實世界中到底它能不能用？兩個研究員的研究也不曾告訴大家，平方投票法應該要給每個人多少預算來投票？是不是所有的事情都適用平方投票法？有沒有選票單項目的上限呢？過去的兩年半，一直到今天，我就是在研究這件事情，也就是俗稱的實證研究。
問題來了，這研究怎麼做？我如果真的去找了一群人來投票，我是要怎麼知道這個投票結果是準的還是不準的呢？也就是說，我要找個東西來比較。
還記得最最最一開始我說，投票其實就是彙整大家的意見來做決策的工具嗎？想想生活中還有什麼工具也是拿來彙整大家的意見呢？
啊！啊！問卷！是問卷！
自古以來，各行各業各個機關都會發行問卷來蒐集大家的意見作為其決策的工具。各大社群平台、電話民調、報章雜誌都會設計問卷來蒐集大眾的想法和建議。其中，李克特量表（Likert Scaled Questions）又經常拿來放在這些問卷中。你一定填寫過李克特量表，只是你不知道他叫這個名字，我保證:
沒錯，這種針對一件事情（例如吃飯），在一個量尺上（上面這個是非常滿意到很差五個等第）做出意見表達的問卷就稱做李克特量表。我的碩士論文就是研究：平方投票法 與 李克特量表 到底哪個比較可以代表一個人心中的喜好。
在實驗中，我們設計了兩種情境：一種是針對資源有限的政府單位在了解民眾針對不同社會面相的偏好，另外一種是針對資源有限的公司在設計產品時了解用戶對於產品不同面向的偏好。前者強調的是，投票人針對相對獨立的不同項目做出意見的表達，用白話文說就是，如果老師要買一桶冰淇淋請班上同學吃，班長要調查大家最想吃的口味，所以設計了一個問卷/投票，詢問大家想要吃香草、草莓、或是巧克力口味的冰淇淋。後者強調的是針對一個主題的不同面向提出看法，用白話文說就是，一間工廠想設計專門給學生吃平價冰淇淋，所以請班長詢問小朋友，大家吃冰淇淋的時候到底比較在乎冰淇淋的口感、甜度、還是質地。
結論是，在兩種情境下，我們的實驗都證實了，平方投票法能比李克特量表更能表達一個人心中的偏好。至於我們是怎麼設計實驗的？實驗的細節是什麼？或是你想要玩玩看平方投票法，就請看下一篇文章吧！
短結 #
這篇文章主要著重在介紹平方投票法是什麼，以及我的研究主要在做什麼。希望透過簡單的文字敘述，讓大家在未來考慮使用平方投票法作為意見蒐集的工具。同時，我也要鄭重的說，我的研究絕對不是要否定李克特量表！平方投票法有他的假設和特性，但是篇幅的關係，只好省略不提。如果有興趣想更了解平方投票法背後的理論和假設、或是你有使用平方投票法的需求，都可以寫信或是留言給我找我聊聊！
最後，我從來沒想過我會研究投票法，但人生就是這樣，它永遠會給你驚喜 :)
參考文獻
- Quadratic voting
- 阿羅的不可能定理
- Lalley, Steven P., and E. Glen Weyl. “Quadratic voting：How mechanism design can radicalize democracy.” AEA Papers and Proceedings. Vol. 108. 2018.
- Posner, Eric A., and E. Glen Weyl. Radical Markets. Princeton University Press, 2019.
註一：阿羅的不可能定理說：「當存在至少三名候選人和兩位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規則。」阿羅公理中認為，一個好的意見彙集原則，必須要能夠符合四個條件，有興趣的朋友自己查，不然我又要寫註註解了。但是我們可以用下面這個一人一票的情境，想想為什麼他有問題。龍龍國三個候選人：小蚵、小叮、小堯；滿分10分的情況下，學姊對於三個選人的評價分別是 6分、4分、5分；小豬對於三個選人的評價分別是 3分、9分、7分；小宋覺得三個人在他心中分別是 7分、4分、6分。在一人一票的情況下，小蚵會贏得選戰（得票數依序是 小蚵[2] > 小叮[1] > 小堯[0]），但如果你把分數加總，會發現其實小堯才是真正的贏家（總得分依序 小堯[18] > 小叮[17] > 小蚵[16]）。兩種「民意」完全相反，究竟誰才是真民意呢？這邊要強調，平方投票法因為某些原因，並不受限於阿羅公理的四個條件，這邊主要想點出傳統投票的缺陷。
註二：文章中列出的平方投票法與原著的定義有被些微差距，畢竟 2014 年的原著使用的是數學的表達式，且設有一些假設。後來的研究（和我們的研究）在實務上都做出與本文敘述雷同的平方投票法。在白話科技文的初衷下，主文就沒有仔細解釋這些差異了。這裡簡單列舉幾個差異，原著並沒有提到贊成反對票的雙向性質（也就是同時可以投下贊成與反對票），但是學理上來說兩者是相等的，所以並不影響原著的假設。另外一個差異在於原著中所設定的「預算」是可以保留到下一個投票的，也就是你一生的投票點數是固定的，但是這樣的假設在問卷中不可能發生，所以必須做出某些妥協，這也是實證研究與理論研究的差異。
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